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如何解一元三次方程

1、一元三次方程的求根公式稱為“卡爾丹諾公式”。一元三次方程的一般形式是x3+sx2+tx+u=0。

2、如作一個(gè)橫坐標(biāo)平移y=x+s/3，那么就可以把方程的二次項(xiàng)消去。所以只要考慮形如x3=px+q的三次方程。

3、例子：假設(shè)方程的解x可以寫成x=a-b的形式，這里a和b是待定的參數(shù)。

代入方程：a3-3a2b+3ab2-b3=p(a-b)+q

整理得到：a3-b3=(a-b)(p+3ab)+q;由二次方程理論可知，一定可以適當(dāng)選取a和b，使得在x=a-b的同時(shí)，3ab+p=0。這樣上式就成為a3-b3=q兩邊各乘以27a3，就得到27a6-27a3b3=27qa3。由p=-3ab可知，27a6+p=27qa3這是一個(gè)關(guān)于a3的二次方程，所以可以解得a。

一元二次方程求解的萬能公式有多少?

一元二次方程ax^2+bx+c=0的萬能公式x=(-b±√(b^2-4ac))/2a。

解：對于一元二次方程ax^2+bx+c=0(a≠0)，可以進(jìn)行化簡得，

x^2+b/a*x+c/a=0

x^2+2*b/2a*x+(b/a)^2-(b/2a)^2+c/a=0

(x+b/2a)^2=(b/2a)^2-c/a

即(x+b/2a)^2=(b^2-4ac)/a^2

那么可解得x+b/2a=√(b^2-4ac))/2a，或者x+b/2a=-√(b^2-4ac))/2a。

那么x=(-b+√(b^2-4ac))/2a，或者x=(-b-√(b^2-4ac))/2a。

所以一元二次方程的萬能解公式為x=(-b±√(b^2-4ac))/2a。

擴(kuò)展資料：

二次函數(shù)性質(zhì)

對于二次函數(shù)y=ax^2+bx+c(其中a≠0)。有如下性質(zhì)。

1、二次函數(shù)的圖像是拋物線。開口向上或者向下的拋物線才是二次函數(shù)。拋物線是軸對稱圖形。對稱軸為直線x=-b/(2a)。

2、二次項(xiàng)系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小。當(dāng)a>0時(shí)，拋物線開口向上;當(dāng)a<0時(shí)，拋物線開口向下。|a|越大，則拋物線的開口越小;|a|越小，則拋物線的開口越大。

3、拋物線與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)

(1)當(dāng)△=b^2-4ac>0時(shí)，拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)。

(2)當(dāng)△=b^2-4ac=1時(shí)，拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn)。

(3)當(dāng)△=b^2-4ac<0時(shí)，拋物線與x軸沒有交點(diǎn)。

一元三次因式分解十字相乘法怎么計(jì)算?

先提公因式變成二次方，再用十字相乘。

《十字相乘法》僅僅是一種很特別的題目能采用的。

先隨便設(shè)定兩個(gè)整數(shù)，例如：

m=2，m=-6

(m-2)(m+6)=0

展開就是m²+4m-12=0

-12是由哪兩個(gè)數(shù)相乘得到的

同時(shí)還能將它們的和成為+4

擴(kuò)展資料

解方程依據(jù)

1、移項(xiàng)變號(hào)：把方程中的某些項(xiàng)帶著前面的符號(hào)從方程的一邊移到另一邊，并且加變減，減變加，乘變除以，除以變乘;

2、等式的基本性質(zhì)：

(1)等式兩邊同時(shí)加(或減)同一個(gè)數(shù)或同一個(gè)代數(shù)式，所得的結(jié)果仍是等式。用字母表示為：若a=b，c為一個(gè)數(shù)或一個(gè)代數(shù)式。

(2)等式的兩邊同時(shí)乘或除以同一個(gè)不為0的數(shù)，所得的結(jié)果仍是等式。用字母表示為：若a=b，c為一個(gè)數(shù)或一個(gè)代數(shù)式(不為0)。

如何解一元高次方程

解一元高次方程技能訓(xùn)練的基本要求和注意點(diǎn)是:①明確其基本思想是“降次”,即轉(zhuǎn)化為次數(shù)較低的方程來解,基本方法是利用因式分解(參見“一元多項(xiàng)式的因式分解”)或利用換元法(參見“換元法”)。②有理系數(shù)的一元高次方程要化為整系數(shù)方程來解。

③會(huì)用牛頓試除法求整系數(shù)多項(xiàng)式f(x)的有理根:先求出常數(shù)項(xiàng)的所有約數(shù)u1,u2,…uk(包括負(fù)的約數(shù)),首項(xiàng)系數(shù)的所有約數(shù)v1,v2…v1,寫出一切可能的ui/vj,再對這有限個(gè)ui/vj用綜合除法進(jìn)行試除(參見《綜合除法》)。當(dāng)求得一個(gè)有理根后,只要再對商式進(jìn)行試除。對求得的有理根還要繼續(xù)試除,以檢查是否為重根。當(dāng)ui/vj很多時(shí),會(huì)用以下方法縮小試除的范圍:先計(jì)算f(1)與f(-1),檢查1與-1是否為根。若f(1),f(-1)都不為零,則只需對使商f(1)/1-α,f(-1)/1+α都是整數(shù)的α=ui/vj進(jìn)行試除;若f(1)(或f(-1))為零則可用(x-1)(或(x+1))進(jìn)行試除,而對所得的商式再考慮以上步驟。在試除過程中,如商式出現(xiàn)分?jǐn)?shù)系數(shù),要知道不需再除下去,所試除的數(shù)不是f(x)的根。

④懂得在復(fù)數(shù)范圍一元n次方程恰有n個(gè)根(n重根就當(dāng)n個(gè)計(jì)算)。實(shí)系數(shù)方程只可能有實(shí)根或成對的共軛虛根。并知道,在實(shí)際上要求出這些根常很困難,而且并非都能辦到。一元三次方程,四次方程有求根公式,但很麻煩,實(shí)用價(jià)值不大。而五次及五次以上的方程不存在求根公式,即不能把一般的五次及五次以上的方程的解通過系數(shù)的有限次加減乘除、乘方、開方表示出來。所能解的只是一些特殊的高次方程。

⑤懂得對于實(shí)系數(shù)一元高次方程,當(dāng)它的實(shí)根不能用上面所述方法方便地求得時(shí),需要求出實(shí)根的近似值,這在實(shí)際問題中大量存在。知道可以用施圖姆方法求得實(shí)根的個(gè)數(shù),和進(jìn)行實(shí)根的隔離,即把不同的實(shí)根分隔在不同的互不交叉的區(qū)間內(nèi)。(施圖姆方法可在有關(guān)多項(xiàng)式代數(shù)的書籍中查到)。

⑥會(huì)用秦九韶法求實(shí)系數(shù)一元高次方程f(x)=0實(shí)根的近似值:設(shè)f(x)沒有重根(這不失一般性,因?yàn)榭偪梢园岩粋€(gè)多項(xiàng)式的重因式去掉,參閱《高等代數(shù)》),在區(qū)間[c,c+1]內(nèi)有一個(gè)實(shí)根α,(c是整數(shù)),作變換x=c+y,f(x)變?yōu)?(y),它有一個(gè)根β在0與1之間,α=C+β。把[0,1]分成10個(gè)較小的閉區(qū)間:[0,0.1]、[0.1,0.2]、…,[0,9,1]。考察?(y)在小區(qū)間端點(diǎn)的符號(hào),由在兩端異號(hào)即知β在該小區(qū)間內(nèi)。設(shè)β在[0.C1,0,C1+0.1]內(nèi),那么C.C1就是α的精確到0.1的近似值。若再作變換y=0.C1+z,則?(y)變?yōu)?(z),它有一個(gè)根γ在0與0.1之間,有β=0.C1+γ,從而α=c.c1+γ。再確定γ在[0,0.01],[0.01,0.02]……,[0.09,0.1]中的哪一個(gè)內(nèi),設(shè)γ在[0,0C2,0.0C2+0.01]內(nèi),那么C.C1C2就是α精確到0.01的近似值。如此繼續(xù),可求得α的達(dá)到給定精確度的近似值。并知道上面的變換x=c+y,由f(x)得到?(y),可列豎式作連續(xù)綜合除法容易地得到。

⑦會(huì)用牛頓法(切線法)求實(shí)系數(shù)一元高次方程f(x)=0實(shí)根的近似值:設(shè)f(x)沒有重根,它在[a,b]上有一個(gè)根α,沒有其它根,f′(x)與f″(x)在[a,b]內(nèi)符號(hào)不變,那么f(x)與f″(x)總在[a,b]的一端上有相同的符號(hào),用x0表示這個(gè)端點(diǎn)。用y=f(x)上過點(diǎn)(x0,f(x0))的切線和x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)x1,作為曲線y=f(x)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)α的近似值,有x1=重復(fù)上述過程,就求得方程f(x)=0的根α的逐次近似值:xi+1知道用如上方法所得的近似值序列x1,x2,……xn,…收斂于α,故可求得α的有事先給定精確度的近似值。

⑧會(huì)用線性插值法(弦線法,拉格朗日法)求實(shí)系數(shù)一元高次方程f(x)=0的近似值:設(shè)f(x)在[a,b]內(nèi)只有一個(gè)實(shí)根,(所要滿足的其它條件同“牛頓法”中所述),f″(x)與f(x)總在[a,b]的一個(gè)端點(diǎn)上有相異的符號(hào)(與牛頓法相反),用x0表示這個(gè)端點(diǎn),作為α的初始近似值(也是以下迭代中的初始值),用A、B分別表示點(diǎn)(a,f(a))與(b,f(b)),以弦線AB代替曲線y=f(x)在AB間的一段,以AB與x軸交點(diǎn)的橫座標(biāo)x1作為曲線y=f(x)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)α的近似值。重復(fù)以上過程,即得α的逐次近似值。若f(a)與f″(a)異號(hào),則取a為x0,迭代公式為:xi+1=xi-i=0,1,2……若f(b)與f″(b)異號(hào),則取b為x0,迭代公式為;知道用如上方法所得近似值序列x1,x2…xn,…收斂于α,故用弦線法可求出α的有事先給定精確度的近似值。

⑨知道在實(shí)際計(jì)算中,切線法和弦線性可聯(lián)合使用,它們的近似值序列分別是從曲線的凸與凹的一面單調(diào)收斂于α,精確度好估算。⑩知道牛頓法和線性插值法也適用于連續(xù)且二階可導(dǎo)的一元實(shí)函數(shù)。

一元二次方程6種解法公式

解一元二次方程的基本思想方法是通過“降次”將它化為兩個(gè)一元一次方程。

一元二次方程有四種解法：

1、直接開平方法;

2、配方法;

3、公式法;

4、因式分解法。

5、圖像解法

一元二次方程ax2+bx+c=0的根的幾何意義是二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像(為一條拋物線)與x軸交點(diǎn)的x坐標(biāo)。

當(dāng)△>0時(shí)，則該函數(shù)與x軸相交(有兩個(gè)交點(diǎn))。

當(dāng)△=0時(shí)，則該函數(shù)與x軸相切(有且僅有一個(gè)交點(diǎn))。

當(dāng)△≤0時(shí)，則該函數(shù)與軸x相離(沒有交點(diǎn))。

用因式分解法解一元二次方程的一般步驟： 一、將方程右邊化為(0); 二、方程左邊分解為(兩個(gè))因式的乘積; 一元三次方程萬能化簡公式

一元三次方程萬能化簡公式：ax3+bx2+cx+d=0，而且一元三次方程只含有一個(gè)未知數(shù)(即“元”)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)為3次的整式方程。

一般的三次方程不能用配方法求解，但四次方程可以。四次方程的標(biāo)準(zhǔn)解法就是引入?yún)?shù)后等式兩邊配平方，然后兩邊開方求解，參數(shù)通過解一個(gè)三次方程得到。得到的四次方程的求根公式里面只有平方根和立方根，沒有四次方根，所以通過筆算開平方和開立方，也能直接筆算出四次方程的解。

方程解法：

1、意大利學(xué)者卡爾丹于1545年發(fā)表的卡爾丹公式法;

2、中國學(xué)者范盛金于1989年發(fā)表的盛金公式法。

兩種公式法都可以解標(biāo)準(zhǔn)型的一元三次方程。用卡爾丹公式解題方便，相比之下，盛金公式雖然形式簡單，但是整體較為冗長，不方便記憶，但是實(shí)際解題更為直觀。

標(biāo)簽： 如何解一元三次方程 一元二次方程求解的萬能公式 一元三次因式分解十字相乘法 如何解一元高次方程